承傑老師建議 運算結果

0) 中心化公式

本次 quadratic model 使用：

• cBeta1 = Beta1 - mean(Beta1)
• cBeta1² = (Beta1 - mean(Beta1))²

這樣做的目的，是降低 Beta1 與 Beta1² 之間的共線性，讓模型參數更穩定、也比較好解釋。

補充檢查：

• 原始 Beta1 與 Beta1² 的相關：r = 0.9696
• 中心化後 cBeta1 與 cBeta1² 的相關：r = 0.5756
• quadratic model 的 VIF
  • BAI_T1 = 6.3550
  • BDI_T1 = 6.7963
  • cBeta1 = 1.4354
  • cBeta1_sq = 1.6007

解讀：

• 中心化後，Beta1 與平方項的相關明顯下降。
• cBeta1 與 cBeta1_sq 的 VIF 都低，表示平方項本身沒有嚴重共線性問題。

1) 巢套邏輯斯迴歸：linear vs quadratic

模型	log-likelihood	AIC	BIC
linear	-20.3362	48.6724	56.6284
quadratic	-17.0909	44.1817	54.1267
interaction	-18.8960	49.7919	61.7258
full	-16.3485	46.6971	60.6200

重點：

• quadratic 的 AIC / BIC 都比 linear 小，表示加上平方項後，模型複雜度雖然增加，但整體仍較划算。
• interaction 單獨加入後沒有比 linear 更好。

2) 二次項係數（cBeta1_sq）

quadratic 模型係數：

• cBeta1 = 0.7659, p = 0.2016
• cBeta1_sq = -0.5554, p = 0.0631

解讀：

• 平方項方向是負的，比較接近「倒 U 型」關係。
• p = 0.0631 屬於邊緣顯著，單看這個係數本身，證據不算最強。
• 但因為整體模型比較（見下方 LR test）有顯著，所以不能只看這一個 p 值。

3) Likelihood ratio test（模型整體比較）

reduced	full	LR stat	df	p
linear	quadratic	6.4907	1	0.0108
linear	interaction	2.8805	2	0.2369
quadratic	full	1.4847	2	0.4760
linear	full	7.9753	3	0.0465

重點：

• linear -> quadratic 的 p = 0.0108，支持加上平方項後，整體模型顯著改善。
• linear -> interaction 不顯著，表示單純加交互作用沒有明顯幫助。
• quadratic -> full 不顯著，表示在已有平方項後，再加交互作用沒有額外明顯增益。

4) 交叉驗證與 LOSO

模型	10-fold OOF AUC	Brier	Log loss	Calibration intercept	Calibration slope	LOSO AUC
linear	0.8902	0.1380	0.4578	-0.6062	0.8772	0.9008
quadratic	0.9323	0.1077	0.3853	-0.4909	1.0533	0.9338
interaction	0.9023	0.1331	0.4388	-0.5827	0.9305	0.9068
full	0.9368	0.1065	0.3816	-0.4708	1.0758	0.9338

重點：

• quadratic 的 10-fold AUC 與 LOSO AUC 都高於 linear
• quadratic 的 Brier 與 log loss 也都比 linear 低，表示不只排序更好，機率預測也更穩。
• calibration 方面，quadratic 的 slope 更接近 1，整體比 linear 更接近理想狀態。

5) Overfitting檢查：bootstrap optimism correction

模型	apparent AUC	mean optimism	optimism-corrected AUC
linear	0.9263	0.0168	0.9095
quadratic	0.9504	0.0132	0.9371
interaction	0.9338	0.0187	0.9151
full	0.9564	0.0177	0.9387

重點：

• quadratic 的 optimism-corrected AUC 仍高於 linear。
• 表示平方項的增益不是只出現在 apparent fit，比較不像只是 sample-specific overfitting。

6) interaction 分開測

模型	interaction term	term p	AIC	BIC	LR vs linear p
linear + Beta1 × BAI	cBAI_x_cBeta1	0.3053	49.6831	59.6280	0.3199
linear + Beta1 × BDI	cBDI_x_cBeta1	0.1091	47.8062	57.7511	0.0905

解讀：

• Beta1 × BAI 沒有證據顯示可改善 linear model。
• Beta1 × BDI 有一些訊號，但仍未達顯著。
• 目前資料不支持「非線性主要只是來自 interaction」這個解釋。

7) spline 與 GAM

restricted cubic spline formal test

test	reduced	full	LR stat	df	p
overall Beta1 effect	BAI + BDI	BAI + BDI + spline(Beta1)	10.5021	4	0.0328
nonlinearity beyond linear	BAI + BDI + linear(Beta1)	BAI + BDI + spline(Beta1)	10.3588	3	0.0158

解讀：

• spline model 對 Beta1 的整體效果顯著。

• nonlinearity beyond linear p = 0.0158，表示 spline 也支持「Beta1 不只是線性關係」。

• cubic spline proxy

  • OOF AUC = 0.9323
  • Brier = 0.1074
  • Log loss = 0.3900

• GAM`

  • OOF AUC = 0.9068
  • AIC = 44.3051
  • smooth term p = 0.00353
  • explained deviance pseudo-R² = 0.5052

解讀：

• spline proxy 的表現與 quadratic 很接近。
• GAM 的 smooth term 顯著，表示即使不預設一定是平方項，資料本身仍支持 Beta1 和失眠之間存在非線性關係。

8) 目前最保守的結論

• 最能直接支持老師建議的主證據是：linear vs quadratic LR test p = 0.0108
• 單看平方項係數本身是邊緣顯著：cBeta1_sq p = 0.0631
• 但 AIC / BIC、10-fold AUC、LOSO AUC、bootstrap optimism-corrected AUC 都支持 quadratic 優於 linear
• GAM smooth term 也顯著，表示非線性不只是平方模型硬套出來的結果
• 分開測 Beta1 × BAI 與 Beta1 × BDI 後，也沒有比平方項更強的證據
• spline 的 formal nonlinearity test 亦顯著，表示 quadratic、spline、GAM 三條證據方向一致

九、圖片

Fig 1. Beta1 分組失眠比例 + LOWESS

• 高端尾巴（z-score:1~3）樣本數比較少，可能要比較謹慎解讀？
• LOWESS 在高端有下降傾向

Fig 2. 固定 BAI/BDI 平均值時的 linear vs quadratic 預測機率曲線

Fig 3. Calibration curve

Fig 4. GAM probability curve